Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki

rok wydania: 2022, wydanie piąte poprawione
ISBN: 978-83-8156-386-4
ilość stron: 200

Opis

Skrypt został opracowany z myślą o studentach fizyki technicznej Politechniki Warszawskiej, dla których byłby głównym źródłem wiadomości z metod matematycznych fizyki. Przedmiot o tym tytule wykładany jest na drugim roku studiów, dlatego do zrozumienia materiału wystarczająca jest znajomość podstawowej analizy matematycznej i algebry wyższej na poziomie pierwszego roku studiów.

W ramach kursu metod matematycznych fizyki omawiane są tylko takie problemy bezpośrednio użyteczne w fizyce. Sposób ich przedstawienia jest podporządkowany potrzebom fizyki. Unikane są czasochłonne, częstokroć żmudne, wyprowadzenia i rozważania, mające niemal wyłącznie wartość matematyczną, a odwracające uwagę od wartości zastosowawczych. Dzięki temu nie gubi się cel, jakim jest nabycie sprawności w praktycznym posługiwaniu się rozważanym aparatem matematycznym. Pragmatyzm niekiedy kosztem ścisłości matematycznej to główne przesłanie, jakie towarzyszyło autorowi przy pisaniu tego opracowania.

W skrypcie przedstawione zostały zagadnienia obejmujące funkcje specjalne (funkcje Eulera, wielomiany ortogonalne, funkcje Bessela), dystrybucje, analiza Fouriera (w ujęciu dystrybucyjnym), funkcje Greena, operatory w przestrzeniach Hilberta, metoda drugiej kwantyzacji, operatorowe funkcje Greena. Każdy rozdział uzupełniony jest o zestaw odpowiednich zadań.

Spis treści

Przedmowa / 7

1. OPERACJE RÓŻNICZKOWE NA POLACH SKALARNYCH I WEKTOROWYCH / 9
1.1. Konwencja sumacyjna / 9
1.2. Delta Kroneckera Tensor antysymetryczny / 10
1.3. Gradient funkcji skalarnej / 11
1.4. Dywergencja wektora / 11
1.5. Rotacja wektora / 12
1.6. Laplasjan funkcji skalarnej / 12
1.7. Ważniejsze związki między wektorami i ich pochodnymi / 12
1.8. Współrzędne krzywoliniowe / 14
1.9. Elementy drogi wzdłuż linii współrzędnych / 16
1.10. Gradient i rotacja we współrzędnych walcowych i sferycznych / 16
1.11. Laplasjan we współrzędnych walcowych i sferycznych / 17
Zadania / 20

2. FUNKCJE ZESPOLONE / 21
2.1. Wprowadzenie / 21
2.2. Przykłady funkcji zespolonych / 22
2.3. Obrazowanie funkcji zespolonych / 23
2.4. Różniczkowanie funkcji zespolonych. Funkcje holomorficzne / 24
2.5. Całkowanie funkcji zespolonych / 25
2.6. Wzór całkowy Cauchy’ego / 27
2.7. Szereg Laurenta / 27
2.8. Residuum funkcji i jego obliczanie / 29
2.9. Obliczanie całek rzeczywistych metodą residuów / 30
2.10. Konforemność funkcji holomorficznych / 35
Zadania / 38

3. FUNKCJE EULERA / 40
3.1. Funkcja gamma Eulera / 40
3.2. Funkcja beta Eulera / 42
3.3. Wzór Stirlinga / 43
Zadania / 44

4. WIELOMIANY ORTOGONALNE / 46
4.1. Definicje ortogonalności / 46
4.2. Waga i jej własności / 47
4.3. Ogólne własności wielomianów ortogonalnych / 49
4.4. Równania różniczkowe dla wielomianów ortogonalnych / 50
4.5. Wzór Rodriguesa / 51
4.6. Normy wielomianów / 57
4.7. Związki rekurencyjne / 58
4.8. Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych / 60
Zadania / 64

5. FUNKCJE SFERYCZNE / 66
5.1. Równanie definiujące funkcje sferyczne i jego rozwiązanie / 67
5.2. Ortogonalność funkcji sferycznych / 69
5.3. Norma funkcji sferycznych / 70
5.4. Pełny wzór na funkcje sferyczne / 71
Zadania / 73

6. FUNKCJE BESSELA / 74
6.1. Równanie różniczkowe na funkcje Bessela. Szereg Bessela / 74
6.2. Funkcje Bessela z indeksem całkowitym i ich funkcja tworząca / 76
6.3. Przedstawienie całkowe funkcji Bessela z indeksem całkowitym / 77
6.4. Funkcja Bessela dla indeksu 1/2 / 78
6.5. Wzory rekurencyjne dla funkcji Bessela / 79
6.6. Zachowanie się funkcji Bessela w pobliżu / 80
6.7. Asymptotyczna postać funkcji Bessela z indeksem połówkowym / 80
6.8. Funkcje Neumanna i Hankela / 81
6.9. Sferyczne funkcje Bessela / 81
6.10. Rozwinie ̨cie fali płaskiej na fale kuliste (wzór Rayleigha) / 82
6.11. Metoda przesunięć fazowych w kwantowej teorii rozpraszania / 85
6.12. Ortogonalność funkcji Bessela / 87
Zadania / 88

7. FUNKCJE UOGÓLNIONE (DYSTRYBUCJE) / 90
7.1. Funkcje próbne / 90
7.2. Ciągi funkcji próbnych / 92
7.3. Definicja dystrybucji / 93
7.4. Przykłady dystrybucji / 93
7.5. Ciągi dystrybucyjne / 96
7.6. Ciągi deltopodobne / 98
7.7. Mnożenie dystrybucji przez funkcje / 99
7.8. Różniczkowanie dystrybucji / 100
7.9. Pochodna dystrybucyjna funkcji trzech zmiennych laplasjan / 102
7.10. Splot dystrybucji / 105
7.11. Superpozycja delty Diraca z funkcją różniczkowalna / 107
Zadania / 108

8. TRANSFORMACJA FOURIERA / 111
8.1. Definicja transformaty Fouriera dla funkcji / 111
8.2. Transformacja odwrotna / 113
8.3. Pochodna transformaty / 115
8.4. Transformata pochodnej. Zastosowanie do równań różniczkowych / 115
8.5. Transformata iloczynu dwóch funkcji / 116
8.6. Transformata splotu dwóch funkcji / 117
8.7. Iloczyn skalarny transformat / 117
8.8. Transformata funkcji przesuniętej / 118
8.9. Transformata funkcji parzystej i nieparzystej / 118
8.10. Transformata Fouriera dystrybucji / 119
8.11. Transformata delty Diraca / 120
8.12. Transformata funkcji stałej / 121
8.13. Transformata dystrybucji przesuniętej / 121
8.14 Transformata potęgi / 122
8.15. Transformata funkcji sinus / 122
8.16. Transformata funkcji schodkowej / 123
8.17. Druga definicja transformaty Fouriera: zestawienie wzorów / 125
8.18. Transformacja Fouriera-Bessela (Hankela) / 125
8.19. Przykłady transformacji Fouriera-Bessela / 126
8.20. Przykładowe transformaty trójwymiarowe / 128
Zadania / 129

9. SZEREGI FOURIERA / 130
9.1. Funkcje i dystrybucje periodyczne / 130
9.2. Definicja współczynnika Fouriera / 131
9.3. Szereg Fouriera / 132
9.4. Równość Bessela-Parsevala / 133
9.5. Rozwinięcie w szereg sinusów i cosinusów / 133
9.6. Skończone szeregi Fouriera / 135
Zadania / 136

10. OPERATORY LINIOWE / 138
10.1. Przykłady operatorów liniowych / 139
10.2. Iloczyn operatorów / 140
10.3. Funkcja o argumencie operatorowym 140
10.4. Operator przesunięcia / 141
10.5. Sumowanie szeregów operatorowych / 141
10.6. Komutator dwóch operatorów 142
10.7. Operator sprzężony / 143
10.8. Operator hermitowski (samosprzężony) / 144
10.9. Operator odwrotny / 145
10.10. Operator unitarny / 145
10.11. Elementy macierzowe operatora / 146
10.12. Ślad operatora / 147
10.13. Wektory i wartości własne / 147
10.14. Zagadnienie własne dla operatorów hermitowskich / 148
Zadania / 149

11. OPERATORY KREACJI I ANIHILACJI / 151
11.1. Definicja operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów / 151
11.2. Bozonowy operator liczby cząstek 152
11.3. Związki komutacyjne dla operatorów bozonowych / 152
11.4. Fermionowe operatory kreacji i anihilacji / 153
11.5. Fermionowy operator liczby cząstek / 153
11.6. Związki komutacyjne dla operatorów fermionowych / 154
11.7. Potęgowanie mnożenie operatorów kreacji i anihilacji / 155
11.8. Operatory polowe / 156
11.9. Wyrażenie dowolnych operatorów jednocząstkowych przez operatory kreacji
i anihilacji / 156
11.10. Diagonalizacja operatora jednocząstkowego / 158
11.11. Operatory dwucząstkowe wyrażone przez operatory kreacji i anihilacji /
Zadania / 160

12. TRANSFORMACJA LAPLACE’A / 162
12.1. Definicja transformaty Laplace’a / 162
12.2. Przykłady transformat / 162
12.3. Transformacja odwrotna / 163
12.4. Transformata pochodnej / 165
12.5. Transformata całki z oryginału / 165
12.6. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą transformacji Laplace’a / 166
12.7. Inne własności transformacji Laplace’a / 168
Zadania / 168

13. FUNKCJE GREENA / 170
13.1. Funkcje Greena dla równań różniczkowych / 170
13.2. Funkcja Greena dla oscylatora harmonicznego / 172
13.3. Funkcja Greena dla kwantowej cząstki swobodnej / 173
13.4. Operatorowa definicja funkcji Greena / 175
13.5. Elementy macierzowe funkcji Greena w dowolnej bazie / 176
13.6. Wyrażenie funkcji Greena przez funkcje własne operatora H / 177
13.7. Funkcje Greena a operatory kreacji i anihilacji / 178
13.8. Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena / 179
13.9. Związek ze stacjonarnym równaniem Schrödingera / 180
13.10. Związek funkcji Greena z funkcją gęstości stanów / 181
Zadania / 182

14. RACHUNEK WARIACYJNY / 183
14.1. Wariacja funkcji i funkcjonału / 184
14.2. Ekstremum funkcjonału / 184
14.3. Równania Eulera / 185
14.4. Zastosowania fizyczne / 186
14.5. Ekstrema warunkowe / 187

Dodatek. RÓWNANIA RÓŻNICOWE LINIOWE / 189
D1. Równania liniowe pierwszego rzędu / 189
D.2. Równania jednorodne rzędu drugiego / 190

Zadania / 192
Odpowiedzi do zadań / 193
Literatura / 200