Matematyka. Podstawy z elementami matematyki wyższej

Matematyka. Podstawy z elementami matematyki wyższej

rok wydania: 2019, wydanie dwunaste
ilość stron: 284
ISBN: 978-83-7348-601-0

Opis
Publikacja jest skierowana do tych, którzy chcą się nauczyć matematyki. Skoro czytać uczymy się czytając, pisać – pisząc, to liczyć można się nauczyć tylko przez liczenie. Potrzeba do tego przede wszystkim chęci, nieco wyobraźni i wiary we własne możliwości. Warto zdobyć się na ten wysiłek, by powiedzieć słowa Jonathana Swifta, autora „Podróży Guliwera”:

Człowiek nie jest zwierzęciem rozumnym, jest tylko zdolny do rozumowania.

Książka ta ma stanowić pomoc dla tych wszystkich, którzy chcą pogłębić swoje umiejętności rozwiązywania zadań z matematyki w zakresie częściowo powtórkowym w stosunku do programu szkoły ponadgimnazjalnej, a częściowo poza ten program wykraczającym. Powstała ona z myślą o uczniach szkół ponadgimnazjalnych przygotowujących się do podjęcia studiów na kierunkach wymagających znajomości matematyki, a także z myślą o studentach pierwszego roku studiów oraz tych wszystkich, których matematyka po prostu interesuje. Autorzy podręcznika chcieli, by był on użyteczny zarówno dla tych, którzy chcą przypomnieć sobie podstawy teoretyczne różnych zagadnień bądź też na przykładach prześledzić metody rozwiązywania zadań, jak i dla tych, którzy chcą samodzielnie je rozwiązywać, sprawdzając tylko poprawność odpowiedzi.

Podręcznik ten należałoby polecić przede wszystkim studentom I roku. Sprawdzenie i uzupełnienie przedstawionego w nim materiału ułatwi im w znacznej mierze zrozumienie treści wykładów i na pewno umożliwi uzyskanie lepszych ocen. Przygotowując ten podręcznik, autorzy korzystali przede wszystkim z własnych notatek dotyczących wykładów i ćwiczeń prowadzonych przez siebie od wielu lat. Większość przytoczonych w nim zadań sami wymyślili, część podpowiedzieli im koledzy z uczelni, a niektóre zaczerpnęli ze znanych powszechnie zbiorów zadań i podręczników, przeznaczonych zarówno dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych, jak i dla studentów. Źródła, z których pochodzą zadania, są wiec tak różnorodne, że nie podano ich w tekście. W zamian natomiast przygotowano obszerną bibliografię, umieszczoną na końcu książki.

Z myślą o studentach autorzy na podstawie podręcznika przygotowali dla studentów Politechniki Gdańskiej również e-testy na platformie Moodle, dostępne pod adresem https://enauczanie.pg.edu.pl/.

Niniejsze wydanie różni się od poprzednich drobnymi zmianami i uzupełnieniami. Autorzy składają serdeczne podziękowania Koleżankom i Kolegom z Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na Odległość Politechniki Gdańskiej oraz studentom za cenne uwagi i wskazówki, które zostały uwzględnione w tym wydaniu podręcznika.

Spis treści
Przedmowa / 9
1. Funkcje elementarne / 11
1.1. Liczby rzeczywiste / 11
Zbiory liczbowe / 11
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej / 12
Rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną / 14
Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb / 16
Wzór dwumianowy Newtona / 19
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 21
1.2. Funkcje i ich własności / 25
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 37
1.3. Wielomiany / 39
Określenie wielomianu / 39
Trójmian kwadratowy / 40
Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych / 44
Działania na wielomianach / 46
Rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych / 49
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 51
1.4. Funkcje wymierne / 55
Rozwiązywanie równań i nierówności z wyrażeniami wymiernymi / 56
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 58
1.5. Funkcje potęgowe / 59
Rozwiązywanie równań i nierówności pierwiastkowych / 61
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 66
1.6. Funkcje wykładnicze / 67
Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych / 68
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 69
1.7. Funkcje logarytmiczne / 71
Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych / 74
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 77
1.8. Funkcje trygonometryczne / 79
Związki między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym / 79
Miara łukowa kąta / 82
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta / 83
Tożsamości i wzory trygonometryczne / 85
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej / 87
Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych / 89
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 93
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 95
1.9. Funkcje cyklometryczne / 99
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 104
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 105
1.10. Przykłady różne – łatwe i trudne / 106
1.11. Zadania różne – łatwe i trudne / 113

2. Geometria analityczna / 119
2.1. Wektory i działania na wektorach / 119
Wektory w układzie współrzędnych / 121
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 123
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 126
2.2. Prosta na płaszczyźnie / 127
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 128
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 129
2.3. Układy równań liniowych / 131
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 132
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 134
2.4. Okrąg, elipsa, parabola, hiperbola  / 136
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 138
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 142

3. Ciągi liczbowe / 145
3.1. Monotoniczność i ograniczoność ciągu / 145
Monotoniczność ciągu / 145
Ograniczność ciągu / 146
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 147
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 149
3.2. Ciąg arytmetyczny i geometryczny / 150
Ciąg arytmetyczny / 150
Ciąg geometryczny / 150
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 151
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 156
3.3. Ciąg określony rekurencyjnie / 156
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 156
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 158
3.4. Granica ciągu / 159
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 164
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 177
3.5. Zadania różne – łatwe i trudne / 180

4. Granica i ciągłość funkcji / 183
4.1. Granica funkcji w punkcie / 183
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 186
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 187
4.2. Granice funkcji w nieskończoności / 189
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 189
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 193
4.3. Granice jednostronne funkcji / 194
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 195
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 197
4.4. Ciągłość funkcji / 199
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 201
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 204
4.5. Zadania różne – łatwe i trudne / 205

5. Badanie funkcji / 209
5.1. Pochodna funkcji / 209
Pojęcie pochodnej / 209
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 211
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 212
Wyznaczanie pochodnej / 213
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 214
Pojęcia związane z pochodną funkcji / 217
Pochodne wyższych rzędów / 218
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 219
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 220
5.2. Zastosowanie pochodnych do badania funkcji / 222
Obliczanie granicy funkcji / 222
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 223
Asymptoty wykresu funkcji / 225
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 226
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 229
Monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji / 230
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 234
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 239
Wklęsłość, wypukłość i punkty przegięcia wykresu funkcji / 241
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 243
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 244
Badanie przebiegu zmienności funkcji i szkicowanie wykresu / 245
Przykładowe zadania z rozwiązaniami / 246
Zadania do samodzielnego rozwiązania / 251
5.3. Zadania różne – łatwe i trudne / 251
Odpowiedzi do zadań / 254
Bibliografia / 283