Wykłady z analizy matematycznej w.2

Wykłady z analizy matematycznej

rok wydania: 2022, wydanie drugie
ISBN: 978-83-01-21395-4
ilość stron: 647
format: 16,5x24 cm
oprawa: miękka

Niniejsza książka powstała na podstawie wykładów z analizy matematycznej, prowadzonych przez autora dla studentów fizyki. Może być również pomocna w nauczaniu matematyki studentów chemii, matematyki zaocznej i wydziałów politechnik, na których wykłada się analizę matematyczną jako osobny przedmiot.
W stosunku do pierwszego wydania zmienił się zakres prezentowanego materiału. Dodano m.in. nowy rozdział poświęcony teorii dystrybucji. Wprowadzono także nowe fragmenty dotyczące równań cząstkowych fizyki matematycznej.

Opis

Nowoczesny podręcznik analizy matematycznej odpowiadający programowi wykładu trzysemestralnego. Przedstawiono w nim szeroki krąg zagadnień analizy matematycznej wraz z bardzo cennymi przykładami i zastosowaniami.

Zakres materiału obejmuje:
- rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej
- elementy funkcji holomorficznych
- podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych
- elementy teorii miary i całki Lebesgue'a
- podstawowe informacje o szeregach Fouriera
- transformacje całkowe.

Spis treści

Przedmowa / 5

Rozdział I. Wstęp do matematyki / 13
1.1 Elementy logiki i teorii zbiorów / 13
1.1.1. Rachunek zdań / 13
1.1.2. Reguły wnioskowania / 16
1.1.3. Funkcja zdaniowa i kwantyfikatory/ 17
1.1.4. Działania na zbiorach / 18
Zadania / 20
1.2. Funkcje i relacje / 21
1.2.1. Relacje21
1.2.2. Relacje równoważności / 22
1.2.3. Funkcja / 24
1.2.4. Ciąg / 24
1.2.5. Działania na funkcjach / 25
1.2.6. Obrazy i przeciw obrazy29
Zadania / 31
1.3. Zbiory liczbowe / 31
1.3.1. Liczby naturalne / 31
1.3.2. Ciała / 32
1.3.3. Liczby wymierne i rzeczywiste / 34
1.3.4. Liczby zespolone / 36
1.3.5. Postać trygonometryczna liczb zespolonych / 38
Zadania / 42

Rozdział II. Ciągi i szeregi / 44
2.1. Przestrzenie metryczne I / 44
2.1.1. Przykłady przestrzeni metrycznych / 44
2.1.2. Kule w przestrzeniach metrycznych / 46
2.1.3. Zbieżność / 48
Zadania / 51
2.2. Ciągi / 52
2.2.1. Własności ciągów liczbowych / 52
2.2.2. Ciągi liczb rzeczywistych / 53
2.2.3. Metody obliczania granic / 55
2.2.4. Ciągi rozbieżne do nieskończoności / 60
2.2.5. Ciągi ograniczone / 63
Zadania / 68
2.3. Szeregi / 69
2.3.1. Szeregi liczbowe / 69
2.3.2. Kryteria zbieżności szeregów / 72
2.3.3. Szeregi potęgowe / 77
2.3.4. Szeregi funkcyjne / 79
2.3.5. Uzupełnienia / 82
Zadania / 86

Rozdział III. Ciągłość / 87
3.1. Przestrzenie metryczne II / 87
3.1.1. Zbiory otwarte i domknięte / 87
3.1.2. Zbiory zwarte / 91
3.1.3. Przestrzeń zupełna / 92
3.1.4. Zasada Banacha / 94
Zadania / 100
3.2. Granica ciągłości funkcji / 101
3.2.1. Definicja ciągowa (Hinego) / 101
3.2.2. Definicja otoczeniowa (Cauchy'ego) / 105
3.2.3. Działania na funkcjach ciągłych / 108
3.2.4. Przykłady / 110
Zadania / 117
3.3. Własności funkcji ciągłych / 118
3.3.1. Własności Darboux / 118
3.3.2. Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych / 121
3.3.3. Przestrzeń funkcji ciągłych / 123
Zadania / 127

Rozdział IV. Różniczkowalność / 128
4.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej / 128
4.1.1. Definicja pochodnej / 128
4.1.2. Podstawowe twierdzenia / 131
4.1.3. Pochodna funkcji elementarnych / 133
4.1.4 Przykłady / 135
4.1.5. Pochodna wyższych rzędów / 139
Zadania / 142
4.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania / 143
4.2.1. Twierdzenie o wartości średniej / 143
4.2.2. Wzór Taylora / 146
4.2.3. Badanie przebiegu zmienności funkcji / 152
4.2.4. Reguła de L'Hospitala / 159
4.2.5. Przybliżone rozwiązanie równań / 163
Zadania / 166
4.3. Pochodna funkcji wielu zmiennych / 167
4.3.1. Elementy algebry liniowej / 167
4.3.2. Pochodna cząstkowa / 172
4.3.3. Pochodna Frecheta / 173
4.3.4. Pochodna kierunkowa / 176
4.3.5. Zastosowanie różniczki i pochodnej / 180
4.3.6. Pochodna funkcji złożonej / 183
4.3.7. Pochodna cząstkowa wyższych rzędów / 185
4.3.8. Pochodna w przestrzeniach unormowanych / 187
4.3.9. Operatory teorii pola / 188
Zadania / 189
4.4. Ekstremum funkcji / 192
4.4.1. Wzór Taylora / 192
4.4.2. Ekstrema lokalne / 194
4.4.3. Ekstrema globalne / 200
Zadania / 201
4.5. Twierdzenie o funkcji odwrotnej i jego zastosowanie / 202
4.5.1. Twierdzenie o funkcji odwrotnej / 202
4.5.2. Twierdzenie o funkcji uwikłanej / 208
4.5.3. Powierzchnie / 213
4.5.4. Powierzchnie domknięte i kawałkami gładkie / 220
4.4.5. Ekstrema warunkowe / 222
Zadania / 229

Rozdział V. Całki / 231
5.1. Całka nieoznaczona / 231
5.1.1. Definicja całki nieoznaczonej / 231
5.1.2. Podstawa całki / 232
5.1.3. Całkowane przez część / 233
5.1.4. Całkowane przez podstawienie / 235
5.1.5. Całkowanie funkcji wymiernych / 237
5.1.6. Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych / 242
Zadania / 247
5.2. Całka oznaczona / 248
5.2.1. Definicja całki oznaczonej / 248
5.2.2. Całkowalność funkcji / 251
5.2.3. Własności całki oznaczonej / 254
5.2.4. Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną / 256
5.2.5. Zastosowanie geometryczne całki / 257
5.2.6. Całki niewłaściwe i ich zastosowanie / 262
5.2.7. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki / 264
5.2.8. Różniczkowanie całki zależnej od parametru / 267
5.2.9. Uogólnienie: całka Reimanna-Stieltjesa i całka z funkcji o wartościach w Rn / 269
5.2.10. Funkcje specjalne / 270
Zadania / 270
5.3. Całki wielokrotne / 272
5.3.1. Definicja całki wielokrotnej / 272
5.3.2. Całka iterowana i wzór Fubiniego / 274
5.3.3. Całka wielokrotna po dowolnym zbiorze / 278
5.3.4. Zastosowanie całek wielokrotnych / 283
5.3.5. Twierdzenie o zamianie zmiennych / 287
Zadania / 294
5.4. Całki krzywoliniowe / 296
5.4.1. Orientacje / 296
5.4.2. Całka krzywoliniowa zorientowana / 303
5.4.3. Całka krzywoliniowa niezorientowana / 308
5.4.4. Związek całek zorientowanych i niezorientowanych / 309
5.4.5. Zastosowanie całek krzywoliniowych / 310
5.4.6. Wzór Greena i polo potencjalne / 311
Zadania / 316
5.5. Całki powierzchniowe / 317
5.5.1. Całka powierzchniowa niezorientowana / 317
5.5.2. Całka powierzchniowa zorientowana / 320
5.5.3. Twerdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego / 322
5.5.4. Twierdzenie Stokesa / 324
5.5.5. Równanie Poissona / 327
Zadania / 331

Rozdział VI. Funkcje zespolone / 333
6.1. Pochodna i całka / 333
6.1.1. Pochodna zespolona / 333
6.1.2. Równanie Cauchy'ego-Riemanna / 336
6.1.3. Całka zespolona / 338
6.1.4. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego / 340
Zadania / 344
6.2. Własności funkcji analitycznych / 345
6.2.1. Własności funkcji Cauchy'ego / 345
6.2.2. Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy / 346
6.2.3. Nierówność Cauchy'ego i zasada maksimum / 349
6.2.4. Szereg Laurenta i punkty osobliwe / 350
Zadania / 354
6.3. Zastosowanie funkcji analitycznych / 355
6.3.1. Rachunek residuów / 355
6.3.2. Funkcje harmoniczne / 359
Zadania / 365

Rozdział VII. Równania różniczkowe / 366
7.1. Metody rozwiązywania równań różniczkowych / 366
7.1.1. Uwagi ogólne / 366
7.1.2. Modele przyrodnicze prowadzące do równań różniczkowych zwyczajnych / 366
7.1.3. Równania o zmiennych rozdzielonych / 368
7.1.4. Równania zupełne / 373
7.1.5. Równanie liniowe i równanie Bernoulliego / 376
7.1.6. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań pierwszego rzędu / 380
7.1.7. Uwagi o efektywnym rozwiązywaniu równań różniczkowych / 383
Zadania / 383
7.2. Podstawowe twierdzenia / 384
7.2.1. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności / 384
7.2.2. Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych / 391
7.2.3. Ciągła zależność od warunków początkowych i parametru / 393
7.2.4. Metoda małego parametru / 396
7.2.5. Zastosowanie szeregów potęgowych w teorii równań różniczkowych / 400
Zadania / 402
7.3. Równania i układ równań liniowych / 403
7.3.1. Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności / 403
7.3.2. Układ liniowy jednorodny / 404
7.3.3. Rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego / 406
7.3.4. Układ jednorodny o stałym współczynnikach / 407
7.3.5. Układ niejednorodny ze stałą macierzą A / 416
7.3.6. Równanie liniowe / 418
7.3.7. Równanie liniowe o stałych współczynnikach / 419
7.3.8. Analiza równania drgań / 426
Zadania / 430
7.4. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych / 431
7.4.1. Równanie autonomiczne / 431
7.4.2. Układ zachowawczy / 434
7.4.3. Stabilność / 436
7.4.4. Twierdzenie Liouville'a / 439
Zadania / 442
7.5. Elementarne wiadomości o równaniach cząstkowych / 443
7.5.1. Równania cząstkowe pierwszego rzędu / 443
7.5.2. Równania cząstkowe drugiego rzędu / 447
Zadania / 451

Rozdział VIII. Teoria całki Lebesgue'a / 453
8.1. Przestrzeń z miarą / 454
8.1.1. Zbiory mierzalne / 454
8.1.2. Zbiory borelowskie / 455
8.1.3. Miara / 457
8.1.4. Miara Lebesgue'a / 458
8.1.5. Miara zupełna / 458
8.1.6. Własności miary / 460
Zadania / 462
8.2. Funkcje mierzalne / 462
8.2.1. Definicja funkcji mierzalnej / 462
8.2.2. Własności funkcji mierzalnych / 463
8.2.3. Funkcje proste / 465
Zadania / 467
8.3. Całki Lebesgue'a / 467
8.3.1. Definicja całki Lebesgue'a / 467
8.3.2. Własności całki Lebesgue'a / 469
8.3.3. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki / 472
8.3.4. Całkowanie funkcji zespolonych / 478
8.3.5. Całka Lebesgue'a w R / 480
Zadania / 481
8.4. Szeregi Fouriera / 482
8.4.1. Przestrzeń L2 / 482
8.4.2. Przestrzeń unitarna i przestrzeń Hilberta / 484
8.4.3. Układ ortonormalny / 486
8.4.4. Szereg Fouriera / 490
8.4.5. Równanie Laplace'a w kole / 492
Zadania / 495

Rozdział IX. Dodatek / 496
9.1. Transformacja Fouriera / 496
9.1.1. Twierdzenie Fubiniego / 496
9.1.2. Splot / 497
9.1.3. transformacja Fouriera / 498
9.1.4. Odwrotna transformacja Fouriera / 500
9.1.5. Równanie przewodnictwa cieplnego / 502
Zadania / 503
9.2. Transformacja Laplace'a / 504
9.2.1. Definicja transformaty Laplace'a / 504
9.2.2. Własności transformaty Laplace'a / 506
9.2.3. Zastosowania transformacji Laplace'a do rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych / 507
Zadania / 509
9.3. Elementy rachunku wariacyjnego / 509
9.3.1. Ekstrema funkcjonałów / 509
9.3.2. Ekstrema funkcjonału działania / 512
9.3.3. Przykłady / 515
9.3.4. Związek rachunku wariacyjnego z mechaniką Newtona / 522
Zadania / 523
Literatura uzupełniająca / 524
Skorowidz / 526