Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki

Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki

rok wydania: 2013, wydanie trzecie uzupełnione
ilość stron: 388
ISBN: 978-83-7464-594-2
format: B5
oprawa: miękka

Spis treści
Przedmowa (skrócona) do pierwszego wydania A.D. 1994 V
Przedmowa (skrócona) do drugiego wydania A. D. 2004 VI
Przedmowa do trzeciego wydania vi

1  Funkcje zmiennej zespolonej / 1
1.1  Liczby zespolone / 1
1.2  Algebra liczb zespolonych / 3
1.2.1 Wzór de Moivre’a; liczby zespolone i wzory trygonometryczne / 7
1.3  Pojęcia podstawowe, definicje / 7
1.3.1 Pojęcia podstawowe / 7
1.3.2 Funkcja zmiennej zespolonej – podstawowe definicje / 10
1.4  Proste przykłady / 11
1.4.1 Funkcje wieloznaczne. Pierwiastek stopnia n na płaszczyźnie zespolonej; logarytm zespolony / 12
1.5  Warunki Cauchy’ego-Riemanna / 16
1.5.1 Konsekwencje warunków Cauchy’ego-Riemanna / 18
1.6  Całka funkcji zmiennej zespolonej / 22
1.7  Twierdzenie całkowe Cauchy’ego / 25
1.7.1 Twierdzenie całkowe Cauchy’ego – konsekwencje / 26
1.8  Wzór całkowy Cauchy’ego / 29
1.8.1 Wzór całkowy Cauchy’ego – konsekwencje 31
1.8.2 Twierdzenie Morery / 32
1.8.3 Zasada minimum i maksimum / 32
1.8.4 Twierdzenie Liouville’a / 33
1.9  Szeregi funkcji analitycznych / 34
1.9.1 Szereg funkcyjny, zbieżność / 35
1.9.2 Szereg Taylora / 38
1.9.3 Szeregi Taylora funkcji elementarnych / 41
1.9.4 Szereg Laurenta / 41
1.9.5 Zera funkcji analitycznej / 45
1.9.6 Odosobnione punkty osobliwe / 46
1.10 Residuum / 49
1.10.1 Obliczanie residuów w osobliwościach biegunowych / 51
1.11 Rachunek residuów – zastosowania / 53
1.11.1 Obliczanie całek / 53
1.11.2 Wyznaczanie sum szeregów / 62
1.11.3 Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste / 66
1.12 Odwzorowania konforemne / 70
1.12.1 Odwzorowania konforemne / 71
1.12.2 Homografia / 73
1.12.3 Siatka konforemnie równoważna / 77
1.12.4 Potencjał zespolony wektorowego pola płaskiego / 80
1.12.5 Wektorowe pole płaskie i odwzorowania konforemne / 84
1.12.6 Odwzorowania konforemne w hydrodynamice 88
1.13 Gamma Eulera / 103
1.13.1 Podstawowe własności Γ(z) / 106
1.13.2 Reprezentacja całkowa / 108
1.13.3 Funkcje niekompletne –γ(a,x) i Γ(a,x) / 109
1.13.4 Funkcja beta Eulera / 110
1.13.5 Trochę fizyki / 111
1.14 Podsumowanie / 113

2  Równania różniczkowe drugiego rzędu / 117
2.1  Wprowadzenie / 117
2.2  Metoda separacji zmiennych / 120
2.3  Punkty osobliwe równania różniczkowego / 125
2.4  Podstawowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu / 128
2.5  Metoda Frobeniusa / 130
2.6  Równania klasy Fuchsa – uwagi ogólne / 137
2.7  Równania klasy Fuchsa – formy kanoniczne / 140
2.8  Drugie rozwiązanie / 150
2.8.1 Metoda wariacji parametru λ / 150
2.8.2 Drugie rozwiązanie – Wrońskian 154
2.9  Funkcja konfluentna / 158
2.9.1 Równanie Bessela a równanie konfluentne / 160
2.9.2 Reprezentacja całkowa funkcji konfluentnej; Asymptotyka w nieskończoności / 161
2.10 Równanie niejednorodne / 164
2.10.1  Metoda wariacji parametrów / 164
2.10.2 Metoda funkcji Greena / 165
2.11 Przykłady zastosowań: stacjonarne równanie Schr ̈odingera / 172
2.12 Podsumowanie / 180

3  Zagadnienie Sturma-Liouville’a  / 183
3.1  Wprowadzenie / 183
3.2  Równanie własne operatora różniczkowego / 184
3.3  Operatory hermitowskie / 187
3.4  Warunki brzegowe / 196
3.5  Metoda ortogonalizacji Schmidta / 200
3.6  Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych w problemie S-L / 201
3.7  Wzór Rodriguesa. Funkcje tworzące. Reprezentacje całkowe / 208
3.8  Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji / 212
3.9  Podsumowanie / 219

4  Legendre, Bessel i trochę fizyki / 221
4.1  Wielomiany Legendre’a / 221
4.1.1 Potencjały multipoli elektrycznych / 221
4.1.2 Funkcja tworząca i relacje rekurencyjne / 224
4.1.3 Rozwijanie funkcji w szereg wielomianów Legendre’a / 230
4.1.4 Drugie rozwiązanie równania Legendre’a / 235
4.2  Równanie Bessela / 237
4.2.1 Funkcja tworząca; relacje rekurencyjne / 244
4.2.2 Równanie falowe w symetrii cylindrycznej / 248
4.2.3 Problem własny i równanie Bessela / 251
4.2.4 Równania redukowalne do równania Bessela / 257
4.2.5 Sferyczne funkcje Bessela / 260
4.3  Podsumowanie / 265

5  Wstęp do równań całkowych. Funkcje Greena / 267
5.1  Typy równań całkowych; Pojęcia podstawowe / 268
5.2  Szereg Neumanna – iteracyjna metoda rozwiązywania równań całkowych / 273
5.3  Jądra iterowane; rezolwenta równania całkowego / 277
5.4  Równania Fredholma dla specjalnych typów jąder / 281
5.4.1 Jądra separowalne / 281
5.4.2 Wartości i funkcje własne równania jednorodnego / 284
5.4.3 Jądra symetryczne  / 286
5.5  Funkcja Greena  293
5.5.1 Wprowadzenie / 293
5.5.2 Funkcja Greena – jeden wymiar / 295
5.5.3 Jednowymiarowa funkcja Greena a problem własny / 303
5.5.4 Funkcja Greena dla 2– i 3–wymiarowego operatora Laplace’a / 305
5.5.5 Funkcje Greena zależne od czasu / 308
5.6  Podsumowanie /  321

6  Rachunek wariacyjny / 341
6.1  Typowy problem wariacyjny / 341
6.2  Rachunek wariacyjny – jedna zmienna niezależna i jedna zmienna zależna / 342
6.3  Jedna zmienna niezależna i kilka zmiennych zależnych / 350
6.4  Kilka zmiennych niezależnych i jedna zmienna zależna / 354
6.5  Kilka zmiennych niezależnych i kilka zmiennych zależnych / 356
6.6  Mnożniki Lagrange’a / 356
6.6.1 Szukanie ekstremum w obecności więzów / 356
6.6.2 Mnożniki Lagrange’a w kontekście wariacyjnym / 360
6.7  Podsumowanie / 363

7  Uzupełnienia / 365
A Kilka słów o przestrzeniach wektorowych / 365
A.1 Podstawowe definicje / 365
A.2 Przestrzenie wektorowe i rachunek macierzowy / 369
A.3 Operatory w przestrzeni wektorowej / 370
A.4 Operator sprzężony i samosprzężony / 371
A.5 Przestrzenie funkcyjne / 373
B Kilka słów o układach współrzędnych krzywoliniowych / 375
B.1 Wprowadzenie / 375
B.2 Analiza wektorowa w układach współrzędnych krzywoliniowych / 379
B.3 Układy współrzędnych sferycznych i cylindrycznych / 383