Podstawy teorii sterowania w problemach i zadaniach

Podstawy teorii sterowania w problemach i zadaniach

rok wydania: 2022, wydanie pierwsze
ISBN: 978-83-66727-78-6
ilość stron: 420
format: A4
oprawa: miękka

Opis

Niniejszy skrypt powstał na podstawie notatek do wykładów i ćwiczeń audytoryjnych z teorii sterowania, teorii optymalizacji i wprowadzenia do sterowania układami o parametrach rozłożonych (podstaw sterowania w przestrzeniach Hilberta), które autor prowadził na różnych kierunkach kształcenia studiów podstawowych i doktoranckich. Notatki te były rozwijane i publikowane w latach 2005–2020 na stronie internetowej autora w eksperymentalnej technologii XML/MathML. Nacisk położony jest na ścisłość prezentacji tematyki. Pomimo to zakres materiału jest porównywalny ze zbiorami zadań i problemów znanych z podobnych publikacji zagranicznych. Monografia stanowi istotny wkład do metodologii rozwiązywania problemów i zadań z zakresu teorii sterownia i optymalizacji. Autor konsekwentnie stosuje zaawansowany aparat algebry liniowej i analizy funkcjonalnej oraz dba o ścisłość wywodów i różnorodność zagadnień.

Spis treści

1. Wstęp / 1

2. Elementy algebry liniowej / 2
2.1. Odwzorowania liniowe i macierze / 2
2.2. Zagadnienie własne / 4
2.3. Kanoniczna reprezentacja jordanowska / 6
2.4. Rzeczywista posta ́c Jordana macierzy rzeczywistej / 11
2.5. Rachunek funkcyjny dla macierzy / 17

3. Modele obiektów sterowania / 22
3.1. Elektryczny filtr RC–RC–RC 22
3.2. Sterowany dwójnik elektryczny RLCGM / 23
3.3. Elektryczna linia transmisyjna RLCG26
3.3.1. Równania elektrycznej linii transmisyjnej RLCG / 26
3.3.2. Linia transmisyjna RLCG bez zniekształceń jako obiekt sterowania / 27
3.3.3. Linia transmisyjna RC jako obiekt sterowania / 29
3.4. Zbiornik o przepływie ciągłym / 30
3.5. Wahadło odwrócone / 32

4. Rozwiązania liniowych równań stanu / 35
4.1. Analiza układu jednorodnego / 35
4.2. Wyznaczanie macierzy fundamentalnej / 36
4.2.1. Metoda reprezentacji jordanowskiej / 36
4.2.2. Metoda reprezentacji spektralnej / 37
4.2.3. Przypadek rzeczywistej postaci jordanowskiej / 37
4.2.4. Metoda baz Riesza / 40
4.3. Analiza układu niejednorodnego 41
4.3.1. Formuła wariacji stałych dla układu niejednorodnego / 41
4.3.2. Sterowalność i gramian sterowalności / 43
4.3.3. Wyznaczenie wyjścia / 48
4.3.4. Obserwowalność i gramian obserwowalności / 50

5. Transmitancja liniowego układu sterowania / 53
5.1. Opis układu sterowania w dziedzinie częstotliwości / 53
5.2. Wyznaczanie rezolwenty i transmitancji / 54
5.3. Przykłady transmitancji układów o parametrach rozłożonych / 66
5.4. Zagadnienie realizacji transmitancji / 66
5.4.1. Realizacja transmitancji skalarnej / 67
5.4.2. Realizacja transmitancji macierzowej / 73
5.4.3. Bezpośrednie wyznaczenie minimalnej realizacji transmitancji macierzowej / 75

6. Postać kanoniczna Kalmana / 82

7. Zamknięte układy sterowania / 92
7.1. Równania stanu układów zamkniętych z regulatorami konwencjonalnymi / 92
7.1.1. Przypadek regulatora PD / 92
7.1.2. Przypadek regulatora PID / 94
7.2. Twierdzenie o rozmieszczeniu widma / 95

8. Stabilność układów liniowych / 101
8.1. Własności asymptotyczne rozwiązań / 101
8.2. Algebraiczne kryteria stabilności / 104
8.2.1. Kryterium Hurwitza / 105
8.2.2. Kryterium Routha / 105
8.3. Obszar stabilności w przestrzeni parametrów / 109
8.3.1. Ciągła zależność zer wielomianów od jego współczynników / 109
8.3.2. Wyznaczanie obszarów stabilności w przestrzeni parametrów / 114
8.4. Częstotliwościowe kryteria stabilności układów liniowych / 115
8.4.1. Kryterium Michajłowa / 115
8.4.2. Kryterium Nyquista / 119
8.4.3. Kryterium Nyquista w przypadku pary sprzężonej biegunów na osi urojonej / 124
8.4.4. Modyfikacja kryterium Nyquista dla układu SISO z regulatorem P / 127
8.4.5. Kryterium Nyquista dla układu SISO z opóźnieniem / 129
8.5. Kryterium stabilności oparte na macierzowym równaniu Lapunowa / 135
8.6. Stabilność, a sprowadzalność do zera za pomocą sterowań ograniczonych / 146
8.7. Stabilizowalność i wykrywalność / 147

9. Wprowadzenie do teorii układów dyskretnych / 148
9.1. Rozwiązywanie liniowych dyskretnych równań stanu / 148
9.2. Transformacja Z / 149
9.3. Odwrotna transformacja Z / 152
9.4. Analiza częstotliwościowa / 152
9.5. Potęgowa stabilność / 153
9.5.1. Kryterium algebraiczne potęgowej stabilności / 154
9.5.2. Kryterium wykorzystujące dyskretne macierzowe równaniu Lapunowa / 155
9.6. Zastosowanie do badania schematów różnicowych / 156
9.7. Dyskretne układy sterowania / 160
9.7.1. Układ otwarty z impulsatorem idealnym / 160
9.7.2. Układ otwarty z modulatorem amplitudy / 162
9.7.3. Przykład analizy układu zamkniętego / 165
9.7.4. Układ z modulatorem szerokości impulsu / 168

10. Podstawy teorii optymalizacji / 171
10.1. Problem minimalizacji funkcjonału / 171
10.2. Warunki wystarczające: twierdzenie Weierstrassa / 171
10.3. Minimalizacja funkcjonałów w przestrzeniach Hilberta i Banacha / 172
10.3.1. Przypadek przestrzeni Hilberta / 172
10.3.2. Przypadek przestrzeni Banacha / 174

11. Przestrzenie i operatory ograniczone / 175
11.1. Typowe przestrzenie stanu / 175
11.2. Typowe operatory / 179

12. Minimalizacja funkcjonałów kwadratowych / 184
12.1. Zadanie bez ograniczeń / 184
12.1.1. Dyskusja warunków optymalności / 184
12.2. Uwagi o zadaniach z ograniczeniami / 185
12.3. Przykład: problem lq / 187

13. Warunki konieczne: twierdzenie Fermata / 189

14. Optymalizacja parametryczna / 197
14.1. Wyznaczanie L2(0, ∞; Rm) - normy wyjścia / 197
14.2. Przykłady optymalizacji parametrycznej normy energetycznej / 197
14.2.1. Optymalizacja parametryczna układu z konwencjonalnym regulatorem P / 197
14.2.2. Optymalizacja parametryczna układu regulacji z regulatorem PI / 201

15. Aproksymacja odpowiedzi impulsowej / 207
15.1. Sformułowanie problemu / 207
15.2. Warunki wystarczające optymalności / 207
15.3. Warunki konieczne optymalności / 209

16. Stabilność nieliniowych układów sterowania / 213

17. Analiza absolutnej stabilności metodą Lapunowa / 217
17.1. Definicja i konstrukcja funkcjonału Lapunowa / 217
17.2. Funkcje dodatnio rzeczywiste / 220
17.3. Dyskusja rozwiązalności układu (17.6) / 221
17.3.1. Przypadek układu kanonicznego / 221
17.3.2. Przypadek oryginalnego układu rozwiązujących równań Lurie / 224

18. Optymalna estymata obszaru atrakcji zerowego punktu równowagi / 234
18.1. Przykład konstrukcji kwadratowego funkcjonału Lapunowa / 235
18.2. Uogólnienia / 241

19. Stabilność nieliniowych dyskretnych układów sterowania / 244
19.1. Stabilnoś ́c – fakty ogólne / 244
19.2. Forma kwadratowa jako funkcjonał Lapunowa dla dyskretnego układu Lurie / 245

20. Warunki konieczne Karusha–Kuhna–Tuckera / 251
20.1. Twierdzenie Karusha–Kuhna–Tuckera / 251
20.2. Twierdzenie o punkcie siodłowym funkcjonału Lagrange’a / 252
20.3. Zastosowanie warunków KKT w zadaniach minimalizacji / 253
20.3.1. Zadanie 1 / 253
20.3.2. Zadanie 2 / 255
20.3.3. Podsumowanie / 257
20.4. ́Cwiczenia / 257

21. Elementy analizy wypukłej / 263
21.1. Podstawowe pojęcia analizy wypukłej263
21.2. Relacja między wypukłością a ciągłością / 268
21.3. Minimalizacja funkcjonałów wypukłych / 268
21.3.1. Subgradient – definicja i interpretacja geometryczna / 268
21.3.2. Twierdzenie o minimalizacji funkcjonału wypukłego na zbiorze wypukłym / 271
21.3.3. Wypukłe funkcjonały Lapunowa / 273
21.3.4. Przykład / 273
21.4. Charakteryzacje wypukłości funkcjonałów różniczkowalnych / 275

22. Przykłady minimalizacji funcjonałów na przestrzeniach funkcyjnych / 277
22.1. Rozwiązanie alternatywne problemu (15.1) / 277
22.2. Problem brachistochrony / 278
22.3. Rozwiązanie problemu brachistochrony / 279
22.3.1. Konweksyfikacja problemu / 279
22.3.2. Przestrzeń stanu i zbiór dopuszczalny / 280
22.3.3. Nierównoś ́c wariacyjna i równanie Eulera–Lagrange’a / 281
22.3.4. Rozwiązywanie równań Eulera–Lagrange’a metodą Beltramiego / 282
22.4. Problem minimalnej powierzchni obrotowej / 285
22.5. Rozwiązanie problemu minimalnej powierzchni obrotowej. 286
22.5.1. Przestrzeń stanu, własności funkcjonału celu i zbioru dopuszczanego / 286
22.5.2. Warunki konieczne / 288
22.5.3. Alternatywne warunki konieczne / 290
22.5.4. Dyskusja równania (22.30) / 290
22.5.5. Rozwiązanie Goldschmidta / 293
22.5.6. Warunki dostateczne optymalności oparte na twierdzeniu Weierstrassa / 295

23. Problem liniowo-kwadratowy / 305
23.1. Sformułowanie problemu / 305
23.2. Rozwiązanie problemu lq / 306
23.3. Systemy stabilizowalne / 310

24. Zbiór osiągalności przy ograniczeniach na sterowanie / 317
24.1. Zbiór osiągalności i jego własności / 317
24.2. Wyznaczanie zbioru osiągalności metodą hiperpłaszczyzn podpierających / 318
24.3. Zasada maksimum dla układu liniowego / 320
24.4. Przypadek p = ∞ oraz zbiór Ω jest kulą / 321
24.4.1. Przypadek sterowania skalarnego / 321
24.4.2. Przypadek sterowania wektorowego / 322

25. Zasada maksimum / 325
25.1. Sterowanie według kryterium minimalnego zużycia paliwa / 332
25.2. Sterowanie minimalnoczasowe / 334
25.3. Problem lq ze skończonym horyzontem sterowania / 336
25.3.1. Warunki dostateczne / 336
25.3.2. Warunki konieczne – zastosowanie zasady maksimum / 336
25.3.3. Synteza regulatora liniowego / 337
25.3.4. Krótka dyskusja / 339
25.4. Dwuwymiarowe regulatory czasooptymalne / / 342

26. Układy o parametrach rozłożonych / 350
26.1. Modele dynamiki układów o parametrach rozłożonych – przykłady / 350
26.2. Modele dynamiki układów o parametrach rozłożonych – podsumowanie / 360
26.3. Półgrupy i operatory stanu / 360
26.4. Dopuszczalne operatory obserwacji / 364
26.5. Dopuszczalne czynnikowe operatory sterowania / 367
26.6. Reprezentacja stanu / 367
26.7. Reprezentacja wyjścia / 368
26.8. Wykładnicza stabilność przy liniowych sprzężeniach zwrotnych / 368
26.8.1. Operatorowy opis układu zamkniętego / 369
26.8.2. Abstrakcyjny model różniczkowy / 370
26.8.3. Perturbacje generatorów C0-półgrup / 370
26.9. Problem lq dla układów o parametrach rozłożonych / 370
26.10. Przyrostowe kryterium koła / 373

27. Dodatki / 394
27.1. Dowód uwagi 11.2 / 394
27.2. Wyprowadzenie wzoru (15.10) metodą szeregu geometrycznego / 394
Bibliografia / 397
Indeks / 401