Płyty izotropowe i anizotropowe. Zbiór zadań ze statyki

Płyty izotropowe i anizotropowe. Zbiór zadań ze statyki

rok wydania: 2022, wydanie pierwsze
ilość stron: 378
ISBN: 978-83-8156-395-6
format: B5
oprawa: miękka

Opis

Skrypt jest uzupełnieniem podręcznika: S. Jemioło, A. Szwed pt. „Płyty i membrany oraz skręcanie prętów pryzmatycznych”. Tematem opracowania jest zastosowanie teorii Kirchhoffa dotyczącej płyt izotropowych i ortotropowych. Omówiono w nim podstawowe sformułowania zagadnień brzegowych i metody ich rozwiązywania. W szczególności przedstawiono zastosowanie pojedynczych i podwójnych szeregów Fouriera oraz metod wariacyjnych. Zamieszczono liczne przykłady rozwiązań zadań z podaniem wyników w formie graficznej, z ich interpretacją i potencjalnymi zastosowaniami, m.in. w budownictwie. Zastosowano program do obliczeń symbolicznych i numerycznych Mathematica.

Skrypt podzielony jest na dziesięć rozdziałów, ma też dodatek i spis literatury. Każdy rozdział oprócz typowych przykładów zawiera także po kilkadziesiąt zadań do samodzielnego rozwiązania o narastającym stopniu trudności. W dodatku zamieszczone są programy napisane w środowisku programu Mathematica, ilustrujące rozpatrywane zagadnienia.

Notebooki programu Mathematica dotyczące przedstawionych zagadnień dostępne będą na stronie internetowej Biblioteki Głównej PW.

Spis treści
Przedmowa / 11

Rozdział I Teoria płyt Kirchhoffa 13
1. Założenia i podstawowe zależności / 13
1.1. Podstawowe założenia / 13
1.2. Stan przemieszczenia i odkształcenia / 14
1.3. Stan naprężenia i izotropowe związki fizyczne / 15
1.4. Wyznaczenie składowych wektora naprężenia ścinającego / 16
2. Lokalne równania równowagi i uogólnione siły wewnętrzne / 17
2.1. Momenty i siły poprzeczne / 17
2.2. Równania równowagi płyty / 19
2.3. Siły i momenty wewnętrzne w funkcji pochodnych ugięcia płyty / 20
3. Równanie przemieszczeniowe Germain-Lagrange’a / 21
4. Zastępcze siły Kirchhoffa / 22
5. Zagadnienia brzegowe teorii płyt / 24
6. Płyty spoczywające na sprężystym podłożu / 26
7. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt anizotropowych / 27
7.1. Płyty ortotropowe / 27
7.2. Płyty anizotropowe oraz przypadki szczególne, płyty ortotropowe, płyty o symetrii regularnej i płyty izotropowe / 30
8. Płyty o ortotropii technicznej / 33

Rozdział II. Zginanie walcowe pasm płytowych / 36
1. Zginanie walcowe izotropowych lub ortotropowych pasm płytowych / 36
1.1. Płyty izotropowe / 36
1.2. Jednorodne ortotropowe pasma płytowe / 39
2. Statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne zginanie walcowe pasm płytowych / 40
2.1. Równania równowagi i uwagi o rozwiązywaniu zadań statycznie wyznaczalnych / 40
2.2. Przykłady zadań statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych / 43
2.2.1. Płyta swobodnie podparta obciążona równomiernie 43
2.2.2. Płyta wspornikowa / 46
2.2.3. Pasmo płytowe statycznie niewyznaczalne / 51
2.2.4. Pasmo płytowe statycznie niewyznaczalne – zastosowanie programu Mathematica / 52
3. Przykładowe zadania dotyczące zginania pasm płytowych / 54
3.1. Pasma płytowe o rozwiązaniach bez całek szczególnych / 54
3.1.1. Podstawowe równania 54
3.1.2. Pasmo płytowe swobodnie podparte, obciążone na brzegu momentami / 55
3.1.3. Pasmo swobodnie podparte, obciążone wzdłuż linii w środku rozpiętości / 58
3.2. Pasma płytowe o rozwiązaniach z całkami szczególnymi / 60
3.2.1. Podstawowe równania / 60
3.2.2. Pasmo utwierdzone, obciążone równomiernie / 60
3.2.3. Pasmo wspornikowe obciążone równomiernie / 63
3.2.4. Pasmo płytowe na jednym brzegu swobodnie podparte, a na drugim utwierdzone, obciążone równomiernie / 64
4. Zastosowanie dystrybucji Diraca i funkcje Greena / 65
4.1. Dystrybucje Diraca i Heaviside’a / 65
4.2. Pasmo płytowe swobodnie podparte, obciążone wzdłuż prostej / 67
4.2.1. Rozwiązanie zadania brzegowego z zastosowaniem dystrybucji / 67
4.2.2. Funkcje Greena dla pasma płytowego swobodnie podpartego / 70
4.3. Funkcje Greena i ich zastosowanie w typowych pasmach płytowych / 71
4.3.1. Funkcje Greena i zasada superpozycji / 71
4.3.2. Przykłady zastosowania funkcji Greena / 72
4.4. Funkcje Greena w programie Mathematica / 75
5. Pasma płytowe o zmiennej sztywności / 78
5.1. Podstawowe równania / 78
5.2. Pasmo płytowe o zmiennym module Younga swobodnie podparte, obciążone równomiernie / 79
5.3. Zastosowanie programu Mathematica do zagadnień pasm o zmiennej wysokości / 80

Rozdział III. Zginanie walcowe pasma płytowego na sprężystym podłożu / 84
1. Zależności podstawowe / 84
1.1. Rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego na ugięcie płyty 84
1.2. Uwagi o rozwiązaniu zadania pasma płytowego obciążonego równomiernie 85
2. Przykłady wstępne / 89
2.1. Nieskończona płyta obciążona momentem rozłożonym na linii / 89
2.2. Płyta w kształcie półpłaszczyzny obciążona równomiernie na brzegu / 91
2.3. Nieskończona płyta obciążona równomiernie na linii / 93
3. Symetryczne pasma płytowe / 101
3.1. Podstawowe zależności / 101
3.2. Zadania bez całki szczególnej / 101
3.2.1. Płyta swobodnie spoczywająca na sprężystym podłożu, obciążona momentami na brzegu / 101
3.2.2. Płyta swobodnie podparta, obciążona momentami na brzegu / 104
3.2.3. Płyta swobodnie spoczywająca na sprężystym podłożu, obciążona siłami na brzegu / 106
3.3. Pasma płytowe obciążone równomiernie 106
3.3.1. Płyta swobodnie podparta, równomiernie obciążona. 106
3.3.2. Płyta utwierdzona, równomiernie obciążona / 107
3.4. Wybrane przykłady i ćwiczenia / 108
4. Przykłady – płyty w kształcie płaszczyzny lub półpłaszczyzny 108
4.1. Nieskończona płyta na sprężystym podłożu obciążona na pasie. 108
4.2. Płyta w kształcie półpłaszczyzny obciążona na pasie przy brzegu / 112
5. Pasma płytowe / 114
5.1. Pasmo równomiernie obciążone na linii 114
5.2. Pasmo obciążone równomiernie na powierzchni i siłą na linii 116
7

Rozdział IV. Zależności teorii płyt anizotropowych w zapisie tensorowym / 121
1. Podstawowe równania i zależności liniowej teorii sprężystości / 121
1.1. Uwagi wstępne / 121
1.2. Sformułowanie zagadnienia brzegowego / 122
2. Sformułowanie zadania statyki płyt w notacji absolutnej / 124
2.1. Płyty izotropowe / 124
2.2. Płyty anizotropowe / 128
3. Energia sprężystości w płytach izotropowych i anizotropowych / 130
4. Płyty z kompozytów włóknistych / 131
4.1. Płaski stan naprężenia, matryca zbrojona kilkoma rodzinami włókien / 131
4.2. Typy symetrii materiału / 132
4.3. Przykłady / 133
5. Płyty żelbetowe 134
6. Przykłady ilustrujące podstawowe zależności i równania teorii płyt / 136
6.1. Trójkątna płyta równoboczna / 136
6.1.1. Swobodnie podparta płyta, obciążona równomiernie na brzegach rozłożonymi momentami / 136
6.1.2. Swobodnie podparta płyta, obciążona równomiernie / 139
6.2. Zastosowanie rozwiązań osobliwych / 142
6.3. Utwierdzona anizotropowa płyta eliptyczna obciążona równomiernie / 146

Rozdział V. Równania jednorodnych płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych / 151
1. Układy współrzędnych kartezjańskich, walcowych i biegunowych / 151
2. Współrzędne biegunowe / 152
2.1. Lokalna baza i kobaza oraz baza fizyczna / 152
2.2. Gradient, dywergencja, laplasjan i bilaplasjan / 154
3. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych / 156
3.1. Kąty obrotu przekrojów poprzecznych płyty / 156
3.2. Laplasjan i bilaplasjan oraz równanie różniczkowe ugięcia płyty / 157
3.3. Tensor krzywizn i tensor momentów / 158
3.4. Siły poprzeczne / 159

Rozdział VI. Płyty o symetrii kołowej / 161
1. Ogólne rozwiązanie zadania zginania izotropowych płyt kołowych i pierścieniowych / 161
2. Ćwiczenia wstępne / 167
2.1. Zależności podstawowe / 167
2.2. Przykłady / 168
2.2.1. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona momentem na brzegu / 168
2.2.2. Płyta swobodnie podparta i płyta utwierdzona obciążona równomiernie / 170
2.2.3. Płyta pierścieniowa obciążona równomiernie / 177
2.2.4. Płyty pierścieniowe obciążone na brzegu równomiernie rozłożonymi siłami / 179
2.2.5. Płyta swobodnie podparta i płyta utwierdzona obciążona siłą skupioną / 183
2.3. Uwagi o funkcji Greena dla płyt nieograniczonych /186
3. Pełne płyty kołowe / 187
3.1. Pełne płyty kołowe utwierdzone i swobodnie podparte / 187
3.2. Płyty z podporą w środku / 189
3.2.1. Płyta swobodnie podparta z podporą w środku, obciążona na brzegu równomiernie rozłożonymi momentami / 189
3.2.2. Płyty obciążone równomiernie / 192
4. Płyty pierścieniowe / 195
4.1. Płyty pierścieniowe obciążone równomiernie / 195
4.1.1. Podstawowe wzory / 195
4.1.2. Przykłady / 196
4.2. Zadania bez całek szczególnych /198
4.2.1. Swobodnie podparta płyta kołowa z otworem obciążona momentem na brzegu / 198
4.2.2. Utwierdzona płyta kołowa z otworem obciążona momentem na brzegu / 200
5. Płyty ze wspornikiem / 205
5.1. Płyta ze wspornikiem obciążona momentem / 205
5.2. Płyta ze wspornikiem obciążona równomiernie / 207
6. Wybrane zadania 208
6.1. Pełne płyty kołowe obciążone równomiernie na części obszaru / 208
6.2. Płyty wieloprzęsłowe / 211
7. Płyty kołowo symetryczne na sprężystym podłożu – zastosowanie programu Mathematica / 211

Rozdział VII. Podwójne szeregi trygonometryczne Fouriera w zastosowaniu do zagadnień
brzegowych teorii płyt / 218
1. Podwójne szeregi sinusowe / 218
1.1. Rozwiązanie zadania Naviera 218
1.2. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne / 222
1.3. Płyty prostokątne na sprężystym podłożu / 224
1.4. Przykłady wyznaczania współczynników obciążenia i ugięcia płyty w podwójnych szeregach sinusowych / 225
1.4.1. Płyta swobodnie podparta, obciążona siłą skupioną / 225
1.4.2. Płyta swobodnie podparta, obciążona siłami rozłożonymi równomiernie na linii / 226
1.4.3. Płyty swobodnie podparte, obciążone powierzchniowo / 227
1.5. Zasada superpozycji i funkcja Greena / 236
1.6. Trajektorie krzywizn i momentów głównych / 240
1.7. Płyta w postaci prostokątnego trójkąta równoramiennego / 242
2. Podwójne szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych / 243
2.1. Podstawowe zależności / 243
2.2. Przykłady / 246
3. Podwójne szeregi sinusowo-kosinusowe / 249
3.1. Podstawowe zal eżności / 249
3.2. Przykłady zastosowania szeregów kosinusowo-sinusowych / 250
3.2.1. Obciążenie na linii / 250
3.2.2. Obciążenie na linii – zginanie walcowe / 251
3.2.3. Obciążenie siłą punktową / 252
3.2.4. Półpasmo obciążone periodycznie / 253
4. Podwójne szeregi kosinusowo-kosinusowe / 255
4.1. Podstawowe zależności / 255
4.2. Przykłady zastosowania szeregów kosinusowo-kosinusowych 257
4.2.1. Płyta spoczywająca na słupie, obciążona siłą skupioną / 257
4.2.2. Płyta spoczywająca na słupie, obciążona równomiernie na powierzchni prostokąta / 258
5. Wybrane przykłady zastosowania podwójnych szeregów trygonometrycznych / 259
5.1. Uwagi o zastosowaniach podwójnych szeregów trygonometrycznych / 259
5.2. Płyty wzmocnione żebrem / 259
6. Zastosowanie podwójnych szeregów sinusowych w programie Mathematica / 262
6.1. Płyta swobodnie podparta, obciążona punktowo / 262
6.2. Płyta swobodnie podparta, obciążona wzdłuż krzywej / 266

Rozdział VIII. Zastosowanie pojedynczych szeregów trygonometrycznych Fouriera / 269
1. Płyty izotropowe / 269
1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Lévy’ego / 269
1.2. Przykłady / 273
2. Pojedyncze szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych / 275
2.1. Dyskusja ogólnych rozwiązań zadania zginania płyt / 275
2.2. Przykłady określania typu rozwiązania zadania dla różnych materiałów ortotropowych / 278
3. Płyty izotropowe i ortotropowe na sprężystym podłożu / 281
4. Zastosowanie szeregów pojedynczych w półpasmach / 283
4.1. Ogólne zależności / 283
4.2. Przypadki szczególne podparcia półpasma płytowego 285
4.2.1. Utwierdzenie z przesuwem – zginanie walcowe / 285
4.2.2. Brzeg swobodnie podparty / 287
4.2.3. Utwierdzenie / 288
4.2.4. Brzeg swobodny / 290
4.3. Przykłady pasm i półpasm płytowych o różnych warunkach brzegowych / 292
5. Płyty symetryczne / 297
5.1. Uwagi wstępne. / 297
5.2. Płyty izotropowe / 298
5.2.1. Płyta prostokątna swobodnie podparta / 298
5.2.2. Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta i na dwóch brzegach utwierdzona / 300
5.2.3. Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta i na dwóch brzegach swobodna / 301
5.3. Płyty ortotropowe / 302
5.3.1. Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta i na dwóch brzegach utwierdzona / 302
6. Płyty o różnych warunkach brzegowych / 304
6.1. Uwagi / 304
6.2. Swobodnie podparta płyta prostokątna zginana momentami rozłożonymi wzdłuż krawędzi / 306
6.2.1. Obciążenie symetryczne / 307
6.2.2. Obciążenie antysymetryczne / 308
6.2.3. Obciążenie dowolne / 309
6.3. Wybrane przykłady / 309

Rozdział IX. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych Fouriera we współrzędnych biegunowych / 311
1. Zestawienie podstawowych zależności / 311
1.1. Uwagi wstępne / 311
1.2. Płyty o kształcie koła i pierścienia obciążone niesymetrycznie / 313
2. Płyty o kształcie wycinka koła lub pierścienia – zastosowanie pojedynczych szeregów sinusowych / 316
2.1. Podstawowe zależności / 316
2.2. Płyta półkolista obciążona równomiernie 318
2.2.1. Płyta półkolista swobodnie podparta / 319
2.2.2. Płyta półkolista swobodnie podparta na brzegu prostoliniowym i utwierdzona na brzegu krzywoliniowym / 320
3. Płyty kołowe, pierścieniowe i półkoliste z niesymetrycznym obciążeniem liniowym / 321
3.1. Sformułowanie rozpatrywanych zadań i zestawienie wzorów / 321
3.2. Płyta pierścieniowa 322
3.3. Płyta kołowa zamknięta / 323
3.4. Przykłady / 324

Rozdział X. Metody wariacyjne 327
1. Metody Ritza-Timoshenki i Bubnowa-Galerkina 327
1.1. Uwagi wstępne. 327
1.2. Metoda Ritza-Timoshenki / 328
1.3. Metoda Bubnowa-Galerkina / 329
2. Przykłady wstępne / 330
2.1. Zginanie walcowe płyt obustronnie utwierdzonej i obustronnie swobodnie podpartej / 330
2.1.1. Płyta utwierdzona / 330
2.1.2. Płyta swobodnie podparta 332
2.1.3. Różne przykłady obciążenia 333
2.2. Zginana walcowo płyta na jednym z brzegów utwierdzona 338
2.2.1. Swobodnie podparty drugi brzeg płyty 338
2.2.2. Płyta wspornikowa / 339
2.3. Płyta prostokątna przegubowo podparta na wszystkich brzegach / 341
2.3.1. Obciążenie równomierne / 341
2.3.2. Obciążenie w środku siłą skupioną 343
2.3.3. Płyta ortotropowa / 344
2.4. Płyta prostokątna na dwóch brzegach przegubowo podparta, zaś na dwóch utwierdzona, obciążona siłą skupioną w środku / 346
2.4.1. Metoda R-T 347
2.4.2. Metoda B-G 348
2.4.3. Płyta ortotropowa / 349
2.5. Utwierdzona płyta prostokątna / 350
2.5.1. Płyta izotropowa / 350
2.5.2. Płyta ortotropowa / 352
3. Przykłady zastosowania metod wariacyjnych w przypadku płyt kołowo symetrycznych / 353
3.1. Funkcja energii sprężystości / 353
3.2. Płyta kołowa utwierdzona na obwodzie / 354
3.3. Płyta kołowa podparta przegubowo na obwodzie / 360
3.3.1. Płyta kołowa podparta przegubowo, obciążona równomiernie / 360
3.3.2. Płyta kołowa podparta przegubowo na obwodzie, obciążona siłą P w środku / 364
3.4. Płyta kołowa na sprężystym podłożu obciążona siłą w środku / 367
3.5. Wybrane przykłady zagadnień kołowo symetrycznych / 369

Dodatek. Przykłady rozwiązań zadań brzegowych w programie Mathematica / 371
1. Elementy środowiska pakietu Mathematica / 371
2. Przykłady rozwiązań zadań izotropowych płyt Kirchhoffa. 375
2.1. Zginanie walcowe na podłożu Winklera z uwzględnieniem więzów jednostronnych / 375
2.2. Funkcja Greena w podwójnych szeregach sinusowych /379
2.3. Płyta swobodnie podparta, obciążona na obszarze trójkątnym / 379
2.4. Płyta swobodnie podparta, obciążona na obszarze kołowym / 383
2.5. Płyta swobodnie podparta, obciążona momentami równomiernie na dwóch krawędziach / 387
3. Przykłady zastosowania metod aproksymacyjnych do rozwiązywania zadań anizotropowych płyt Kirchhoffa / 389
3.1. Płyta o ortotropii technicznej utwierdzona na wszystkich brzegach / 390
3.2. Płyta o ortotropii technicznej swobodnie podparta na wszystkich brzegach / 395
Bibliografia / 398