Metody analityczne w obliczeniach procesów łączeniowych w systemie elektroenergetycznym

Opis

W rozdziale 1 przedstawiono treść książki na tle dokumentów normalizacyjnych funkcjonujących w tematyce łączników elektroenergetycznych. Rozdział 2 zawiera wprowadzenie do prezentowanej tematyki, formułowane od strony elektrodynamiki klasycznej, gdzie za punkt wyjścia przyjęto monumentalne równania Maxwella w próżni w postaci różniczkowej, a następnie omówiono tzw. równania elementów RCLM i równania Kirchhoffa. Rozdział 3 stanowi fundament matematyczny prezentowanych w opracowaniu obliczeń i zawiera potrzebne w omawianej tematyce elementy rachunku różniczkowego i całkowego. W rozdziałach 4–6 opisano komplet zagadnień potrzebnych do analitycznego rozwiązywania rozpatrywanych tu liniowych równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Rozdział 4 zawiera informacje na temat obliczeń stanów ustalonych zapisu funkcji harmonicznych z użyciem amplitud zespolonych. Kulminacją rozdziału 5 jest podanie wyprowadzenia ważnego (narzędziowo) twierdzenia o rozwiązaniu ogólnym równań różniczkowych niejednorodnych (liniowych i o stałych współczynnikach), a rozdział 6 dostarcza informacje potrzebne do samodzielnego korzystania z transformat Laplace’a. W kolejnych rozdziałach omówiono istotne aspekty procesów łączeniowych w systemie elektroenergetycznym. W rozdziale 7 wprowadzono opis stanu układu z użyciem równań różniczkowych zwyczajnych oraz ważne dla analizy procesów łączeniowych pojęcia składowych wymuszonej (ustalonej) i swobodnych (przejściowych), a także podaje rozwiązania kilku istotnych przypadków. Kolejne rozdziały zawierają zastosowanie transformaty Laplace’a do algebraizacji równań różniczkowych opisujących układy liniowe (rozdział 8) i dwa rozdziały bazujące na sformułowanych dla funkcji operatorowych Laplace’a twierdzeń Thevenina (rozdział 9) i Nortona (rozdział 10). W rozdziale 11 opisano zagadnienia, które są rozwiązywane z użyciem metod numerycznych i symulatorowych, których rozwiązanie analityczne wymaga wprowadzenia istotnych, a przy tym typowych uproszczeń.

Spis treści

Przedmowa / 1
Oznaczenia / 7

1. Wymagania normalizacyjne w zakresie łączników elektroenergetycznych / 11

2. Równania Maxwella elektrodynamiki klasycznej / 15
2.1. Uwagi wstępne / 17
2.2. Teoria pola elektromagnetycznego / 17
2.3. Ujęcie obwodowe i polowe opisu procesów łączeniowych / 19
2.4. Równania Maxwella w próżni / 19
2.5. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego i twierdzenie Stokesa 26
2.6. Równania Maxwella w materii / 33
2.7. Postać całkowa równań Maxwella w próżni i w materii / 38
2.8. Warunki brzegowe w ośrodkach materialnych / 40
2.9. Równanie ciągłości i natężenie prądu elektrycznego / 43
2.10. Równania elementów R, C, L, M i równania Kirchhoffa / 45
2.10.1. Prawo Ohma u = Ri oraz zależności q = Cu, ψ = Li, ψ = Mi / 45
2.10.2. Równania Kirchhoffa napięciowe i prądowe / 55

3. Rachunek różniczkowy i całkowy w zastosowaniach inżynierskich / 59
3.1. Uwagi wstępne / 61
3.2. Tożsamości trygonometryczne / 61
3.3. Granica lim x→0 sin x x = 1 / 65
3.4. Pochodna jako granica ilorazu różnicowego / 70
3.5. Obliczenie pochodnych funkcji cos x, sin x, xn, ax, ex / 72
3.6. Podstawowe operacje na pochodnych i wzór Leibniza / 81
3.7. Całkowanie przez części jako konsekwencja wzoru Leibniza / 82
3.8. Rozwinięcie funkcji okresowych w szereg Fouriera, wzory Eulera-Fouriera / 84
3.9. Rozwinięcie funkcji analitycznych w szereg Taylora i Maclaurina / 89
3.9.1. Szereg Taylora i Maclaurina z resztą postaci Lagrange’a / 89
3.9.2. Zbieżność sumy nieskończonej szeregu Taylora / 99
3.9.3. Zbieżność sumy nieskończonej szeregu Taylora dla funkcji ex, cos x, sin x / 99
3.9.4. Rozwinięcie funkcji ex, cos x, sin x w szereg Maclaurina / 101
3.9.5. Pomijanie małych wyższego rzędu w rozwinięciach Taylora funkcji harmonicznych / 102
3.10. Wzór Eulera eix = cos x + i sin x / 104
3.11. Reguła de l’Hospitala / 108

4. Algebra amplitud zespolonych jako konsekwencja wzoru Eulera / 111
4.1. Odpowiedź układów liniowych na wymuszenia harmoniczne / 113
4.2. Równania Kirchhoffa w zapisie zespolonym / 115
4.3. Kompensacja prądów ziemnozwarciowych / 121
4.3.1. Działania trygonometryczne na funkcjach harmonicznych / 121
4.3.2. Działania algebraiczne na amplitudach zespolonych / 126
4.4. Uwagi końcowe / 128

5. Równania różniczkowe zwyczajne / 131
5.1. Uwaga wstępna / 133
5.2. Równania różniczkowe n-tego rzędu / 133
5.2.1. Postać ogólna i kanoniczna, warunki brzegowe i początkowe, rozwiązanie szczególne i ogólne dla warunków początkowych / 133
5.2.2. Twierdzenie Cauchy’ego o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania szczególnego / 136
5.3. Równania różniczkowe n-tego rzędu liniowe o zmiennych współczynnikach / 136
5.3.1. Równania niejednorodne i jednorodne / 136
5.3.2. Liniowa zależność i niezależność układu funkcji, wyznacznik Wrońskiego do badania liniowej zależności i niezależności / 138
5.3.3. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, RORJ, jako liniowa kombinacja jego n rozwiązań szczególnych / 139
5.3.4. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego, RORN, jako suma RORJ i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego, RSRN: RORN = RORJ + RSRN / 143
5.4. Równania różniczkowe n-tego rzędu liniowe o stałych współczynnikach / 147
5.4.1. Znajdowanie rozwiązania ogólnego równania jednorodnego, RORJ, równanie charakterystyczne, jego wartości własne i różne ich przypadki / 147
5.4.2. Znajdowanie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego, RSRN / 151
5.4.3. Znajdowanie rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego, RORN / 151
5.5. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych i o stałych współczynnikach / 152

6. Przekształcenie całkowe Laplace’a / 155
6.1. Transformata (całka) Fouriera jako przesłanka dla transformaty Laplace’a / 157
6.2. Podstawowe definicje i twierdzenia przekształcenia całkowego Laplace’a / 161
6.2.1. Przekształcenie wprost / 161
6.2.2. Przekształcenie odwrotne: całka Bromwicha / 164
6.2.3. Addytywność i jednorodność (liniowość) / 164
6.2.4. Transformata pochodnej / 165
6.2.5. Transformata całki / 167
6.2.6. Efekt „przesunięcia” dla transformaty Laplace’a funkcji eαtf (t) / 168
6.3. Transformaty całkowe Laplace’a funkcji harmonicznych i hiperbolicznych / 168
6.3.1. Transformaty funkcji cos ωt, sin ωt metodą całkowania przez części / 168
6.3.2. Transformaty funkcji harmonicznych tłumionych eαtcos ωt, eαtsin ωt / 170
6.3.3. Transformaty funkcji cos ωt, sin ωt, cosh ωt, sinh ωt ze wzoru Eulera / 170
6.3.4. Transformaty funkcji sin(ωt + ψ), sin2 ωt z tożsamości trygonometrycznych / 171
6.4. Transformaty funkcji wykładniczej eat i potęgowej tn / 172
6.4.1. Transformata funkcji wykładniczej eat / 172
6.4.2. Transformata funkcji potęgowej tn / 173
6.5. Transformata funkcji okresowej i fali trójkątnej / 176
6.5.1. Transformata dowolnych funkcji okresowych (w tym nieharmonicznych) / 176
6.5.2. Transformata fali trójkątnej / 178
6.6. Transformata odwrotna Laplace’a dla ułamków prostych / 180
6.6.1. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste / 180
6.6.2. Ważna dygresja na temat oscylatora harmonicznego tłumionego / 184
6.7. Twierdzenia o transformacie odwrotnej dla dowolnych funkcji wymiernych / 187
6.7.1. Twierdzenie o residuach / 187
6.7.2. Twierdzenie Heaviside’a / 188
6.8. Zestawienie wprowadzonych transformat Laplace’a / 190
6.9. Rozwiązywanie równań różniczkowych przy użyciu transformaty Laplace’a / 191
6.10. Transformata Laplace’a dla równań elementów w równaniach Kirchhoffa / 192

7. Opis stanu układu przy użyciu równań różniczkowych Kirchhoffa / 195
7.1. Prądy zwarciowe w obwodach prądu przemiennego przy zwarciach odległych od generatorów (patrz też punkt 8.1 i punkt 9.3) / 197
7.1.1. Składowe wymuszone (ustalone) i swobodne (przejściowe) / 197
7.1.2. Prąd zwarciowy o wartości największej możliwej w danym obwodzie / 203
7.2. Udar prądu magnesowania przy załączaniu transformatorów nieobciążonych (patrz też punkt 11.1) / 206
7.3. Załączanie prądu stałego / 208
7.3.1. Rozwiązanie dla zerowego warunku początkowego przy załączaniu prądu obciążeniowego lub prądu zwarciowego (patrz też punkt 9.2) / 208
7.3.2. Rozwiązanie dla niezerowego warunku początkowego przy załączaniu prądu obciążeniowego łącznikiem bezłukowym / 209
7.4. Wyłączanie prądu stałego łącznikiem bezłukowym / 211
7.4.1. Napięcie na łączniku po wyłączeniu (zerwaniu) prądu (patrz też punkt 8.2) / 211
7.4.2. Maksimum napięcia na łączniku po wyłączeniu prądu (przepięcie) / 215

8. Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych Kirchhoffa / 219
8.1. Prądy zwarciowe w obwodach prądu przemiennego przy zwarciach odległych od generatorów (patrz też punkt 7.1 i punkt 9.3) / 221
8.2. Wyłączanie prądu stałego łącznikiem bezłukowym: napięcie na łączniku po wyłączeniu (zerwaniu) prądu (patrz też punkt 7.4.1) / 226
8.3. Przewodność łuku łączeniowego opisana równaniem Mayra / 228
8.3.1. Przesłanki dla sformułowania równania Mayra / 228
8.3.2. Rozwiązanie równania Mayra dla wymuszenia prądowego w postaci prądu wyłączanego ia(t) = Im sin ωt: napięcie łuku / 229
8.3.3. Rozwiązanie równania Mayra dla wymuszenia napięciowego w postaci napięcia powrotnego ua(t) = Em(1 − cos ω0t): prąd połukowy / 234

9. Zastosowanie twierdzenia Thévenina do obliczeń prądu załączanego / 243
9.1. Twierdzenie Thévenina w postaci operatorowej / 245
9.2. Załączanie prądu stałego dla zerowego warunku początkowego prądowego (patrz też punkt 7.3.1) / 246
9.3. Prądy zwarciowe w obwodach prądu przemiennego przy zwarciach odległych od generatorów (patrz też punkt 7.1 i punkt 8.1) / 248
9.4. Przetężenia i przepięcia przy załączaniu pojedynczej baterii kondensatorów (załączanie pojemności na pojemność) / 249

10. Zastosowanie twierdzenia Nortona do obliczeń napięcia powrotnego / 255
10.1. Twierdzenie Nortona w postaci operatorowej / 257
10.2. Napięcie powrotne przy wyłączaniu zwarć na zaciskach wyłącznika / 258
10.2.1. Rozwiązanie dla obwodu bez tłumienia / 258
10.2.2. Rozwiązanie dla obwodu z tłumieniem / 261
10.3. Składowa wymuszona napięcia powrotnego w obwodach trójfazowych i współczynnik biegunowy / 266
10.3.1. Napięcie powrotne dla pierwszego bieguna wyłączającego przy wyłączaniu zwarcia 3f (bez doziemienia) / 267
10.3.2. Napięcie powrotne dla pierwszego bieguna wyłączającego przy wyłączaniu zwarcia 3fz (z doziemieniem) / 273
10.3.3. Napięcie powrotne dla drugiego i trzeciego bieguna wyłączającego przy wyłączaniu zwarcia 3f (bez doziemienia) i 3fz (z doziemieniem) / 278
10.4. Napięcie powrotne o podwyższonej stromości / 282
10.4.1. Napięcie powrotne przy wyłączaniu zwarć za dławikiem / 282
10.4.2. Napięcie powrotne przy wyłączaniu zwarć pobliskich / 285
10.4.3. Napięcie powrotne przy wyłączaniu w warunkach opozycji faz / 299

11. Przybliżone rozwiązania analityczne wybranych procesów łączeniowych / 301
11.1. Udar prądu magnesowania przy załączaniu transformatorów nieobciążonych (patrz też punkt 7.2) / 303
11.2. Prądy zwarciowe w obwodach prądu przemiennego przy zwarciach w pobliżu generatorów (zwarcia generatorowe) / 307
11.2.1. Równania Kirchhoffa opisujące stan przejściowy i ustalony generatora synchronicznego dla obliczeń numerycznych / 308
11.2.2. Upraszczanie równania Kirchhoffa poprzez zastosowanie transformaty Parka i założeń dotyczących indukcyjności uzwojeń stojana i wirnika / 315
11.3. Prądy zwarć generatorowych na podstawie jakościowej analizy składowych prądu zwarciowego dla schematów zastępczych (opóźnione przejście prądu zwarciowego przez wartość zerową) / 331

Bibliografia / 339
Skorowidz nazwisk / 345