Tarcze sprężyste. Zbiór zadań z przykładami zastosowań

Opis

Tematem podręcznika są liniowo sprężyste tarcze izotropowe i anizotropowe. Rozpatrywane są tarcze w płaskim stanie odkształcenia i w płaskim stanie naprężenia. Omówiono podstawowe sformułowania zagadnień brzegowych tarcz i metody ich rozwiązywania. W szczególności przedstawiono metodę półodwrotną Saint-Venanta i efektywną metodę funkcji naprężeń Airy’ego. Sformułowania konkretnych zadań i ich rozwiązania prowadzone są we współrzędnych kartezjańskich lub biegunowych. Zamieszczono liczne przykłady rozwiązań zadań, częstokroć z podaniem wyników w formie graficznej z ich interpretacją i dyskusją. Wskazano również sposoby wykorzystania niektórych rozwiązań w projektowaniu elementów konstrukcyjnych i badaniach doświadczalnych mechanicznych właściwości materiałów oraz omówiono możliwości potencjalnego zastosowania m.in. w budownictwie. Zastosowano program do obliczeń symbolicznych i numerycznych Mathematica.

Podręcznik jest przeznaczony dla studentów wyższych uczelni technicznych kształcących się na kierunku budownictwo, pracowników naukowych, a także może być przydatny dla inżynierów projektantów. Opracowanie dotyczy zagadnień, które są realizowane głównie na pierwszym semestrze kursu Teorii Sprężystości i Plastyczności na studiach II stopnia Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej. Należy zaznaczyć, że materiał zawarty w podręczniku może być wykorzystywany także przez studentów innych uczelni oraz na innych przedmiotach, np. na mechanice gruntów i fundamentowaniu, mechanice nawierzchni komunikacyjnych, projektowaniu konstrukcji drewnianych, stalowych, betonowych i zespolonych oraz przy badaniu projektowanych materiałów konstrukcyjnych. Ukierunkowanie na zagadnienia związane z budownictwem nie przekreśla ogólności podręcznika, który może być wykorzystywany na innych kierunkach studiów i Wydziałach PW, np. Mechanicznym oraz Inżynierii Materiałowej, jako literatura uzupełniająca.

Spis treści

Przedmowa / 11

Rozdział I. Sformułowanie zagadnień tarcz / 13

1. Podstawowe równania liniowej teorii sprężystości / 13

2. Równania liniowej teorii sprężystości w notacji inżynierskiej / 18
2.1. Sformułowanie ogólnego zagadnienia brzegowego statyki / 18
2.2. Równania nierozdzielności składowych tensora odkształcenia / 19
2.3. Sformułowanie zadania brzegowego w naprężeniach / 21
2.4. Sformułowanie zadania brzegowego w przemieszczeniach / 23

3. Sformułowanie teorii tarcz PSO i PSN we współrzędnych kartezjańskich / 26
3.1. Tarcze płaskiego stanu odkształcenia / 26
3.2. Tarcze płaskiego stanu naprężenia / 28
3.3. Sformułowanie ogólnego zadania tarcz / 29
3.4. Przemieszczeniowe sformułowanie zagadnienia tarcz PSO / 31
3.5. Uogólniony płaski stan naprężenia / 34
3.6. Równanie nierozdzielności odkształceń wyrażone przez naprężenia / 36
3.7. Równania przemieszczeniowe tarcz / 38
3.8. O zagadnieniach brzegowych tarcz i metodach ich rozwiązania / 38

4. Najprostsze przykłady i ćwiczenia / 43
4.1. Zapis warunków brzegowych naprężeniowych w tarczy / 43
4.2. Identyfikacja zadania na podstawie rozwiązania na przemieszczenia / 44
4.3. Równomiernie obciążona ważka warstwa sprężysta / 45
4.4. Ważka i niejednorodna warstwa sprężysta 48
4.5. Ustalenie warunków przemieszczeniowych słupa 50

Rozdział II. Rozwiązania belek krępych i tarcz metodą półodwrotną / 58

1. Sformułowanie zadania w naprężeniach i metoda półodwrotna / 58

2. Belki krępe o przekroju prostokątnym / 61
2.1. Tarcza wspornikowa obciążona siłą / 62
2.1.1. Analiza rozwiązania zgodnego z teorią belek smukłych / 62
2.1.2. Rozwiązanie metodą półodwrotną / 63
2.2. Tarcza wspornikowa obciążona równomiernie / 66
2.2.1. Rozwiązanie zgodnie z teorią belek smukłych / 66
2.2.2. Rozwiązanie metodą półodwrotną zadania PSN / 68
2.3. Tarcza wspornikowa obciążona ciężarem własnym 76
2.4. Tarcza swobodnie podparta obciążona równomiernie / 80

3. Wybrane zadania i ćwiczenia / 83
3.1. Tarcza obustronnie utwierdzona obciążona równomiernie / 83
3.2. Tarcza wspornikowa obciążona liniowo po długości 89
3.3. Podsumowanie cech metody półodwrotnej w rozwiązywaniu słupów i belek / 93

Rozdział III. Metoda funkcji naprężeń / 99

1. Sformułowanie metody funkcji naprężeń / 99

2. Wielomiany biharmoniczne / 100
2.1. Wielomian czwartego i piątego stopnia / 100
2.2. Przykłady powiązania składników wielomianów z warunkami brzegowymi / 102
2.3. Wielomiany biharmoniczne dowolnego stopnia / 105

3. Zastosowania metody funkcji naprężeń w konstrukcjach masywnych / 107
3.1. Nieskończenie długa ściana / 108
3.1.1. Wyznaczenie funkcji Airy’ego i stanu naprężenia / 108
3.1.2. Obliczenie stanu odkształcenia i przemieszczenia / 111
3.2. Zapora obciążona cieczą i ciężarem własnym / 112
3.3. Asymetryczna zapora obciążona parciem cieczy / 114
3.4. Symetryczna pryzma obciążona obustronnym parciem cieczy / 119

4. Belki wysokie oraz tarcze PSN i PSO / 124
4.1. Tarcza wspornikowa obciążona siłą / 124
4.2. Tarcza swobodnie podparta obciążona ciężarem własnym / 129
4.3. Tarcza nieprzesuwnie swobodnie podparta obciążona równomiernie / 132

Rozdział IV. Naprężenia główne i maksymalne ścinanie oraz ich trajektorie / 137

1. Podstawowe zależności / 137
1.1. Naprężenia oraz odkształcenia główne i ich trajektorie / 137
1.2. Wzory transformacyjne i koła Mohra / 140
1.3. Trajektorie ekstremalnych naprężeń stycznych / 142
1.4. O całkowaniu numerycznym i metodach graficznych / 143

2. Wyznaczanie trajektorii naprężeń głównych i maksymalnego ścinania / 145
2.1. Najprostsze przykłady tarcz / 146
2.1.1. Tarcza rozciągana / 146
2.1.2. Tarcza poddana czystemu ścinaniu / 147
2.1.3. Tarcza w stanie czystego zginania / 148
2.2. Belka wspornikowa obciążona siłą / 150
2.3. Pryzma obciążona ciężarem własnym / 153

3. Trajektorie krytycznego ścinania według hipotezy wytężenia Coulomba-Mohra / 157
3.1. Kryterium wytężenia CM i naprężenia zastępcze w zagadnieniach płaskich / 158
3.2. Równania różniczkowe trajektorii krytycznego ścinania / 163

4. Przykłady wyznaczania trajektorii krytycznego ścinania / 164
4.1. Tarcze w jednorodnym stanie naprężenia / 165
4.1.1. Tarcza poddana osiowemu rozciąganiu / 165
4.1.2. Tarcza ściskana osiowo / 166
4.2. Belka swobodnie podparta obciążona równomiernie / 168

Rozdział V. Transformacja równań teorii tarcz z układu kartezjańskiego do biegunowego / 170

1. Układ współrzędnych biegunowych i baza fizyczna / 170
2. Transformacje składowych wektora i tensora drugiego rzędu / 171
3. Równania geometryczne Cauchy’ego / 173
4. Równania równowagi wewnętrznej Naviera / 176
5. Równania nierozdzielności odkształceń w naprężeniach / 177
6. Funkcja naprężeń we współrzędnych biegunowych / 178
7. Równania trajektorii we współrzędnych biegunowych / 180
8. Zagadnienie brzegowe tarcz PSO i PSN we współrzędnych biegunowych / 183
9. Zagadnienie kołowo symetryczne tarcz PSO i PSN / 185

Rozdział VI. Tarcze o symetrii kołowej / 186

1. Tarcze w stanie skrętnym / 186
1.1. Sformułowanie zagadnienia brzegowego / 186
1.2. Ogólne rozwiązanie / 187
1.2.1. Podejście naprężeniowe / 187
1.2.2. Sformułowanie przemieszczeniowe / 188
1.3. Skręcanie tarczy pierścieniowej / 189
1.4. Nieograniczona tarcza z kołowym otworem poddana równomiernemu ścinaniu na obwodzie otworu / 190

2. Stan obrotowo symetryczny / 194
2.1. Sformułowanie zagadnienia brzegowego / 194
2.2. Ogólne rozwiązanie dla stanu obrotowo symetrycznego / 195
2.2.1. Podejście naprężeniowe / 195
2.2.2. Sformułowanie przemieszczeniowe / 198
2.3. Zagadnienie Lamégo / 199
2.3.1. Nieskończenie długi cylinder obciążony ciśnieniem wewnętrznym / 200
2.3.2. Nośność sprężysta cylindra PSO i PSN / 204
2.4. Nieograniczona tarcza z otworem / 207
2.5. Tarcze pierścieniowe o różnych warunkach brzegowych / 209
2.5.1. Przemieszczeniowe warunki brzegowe / 209
2.5.2. Mieszane warunki brzegowe / 211
2.6. Tarcza pod nieciągłym obciążeniem / 214
2.7. Tarcze złożone z dwóch i więcej materiałów / 218

3. Słup zespolony w uogólnionym płaskim stanie odkształcenia / 223

Rozdział VII. Klin, płaszczyzna i półpłaszczyzna / 228

1. Funkcja naprężeń o rozdzielonych zmiennych / 228

2. Klin obciążony siłą w wierzchołku / 231

3. Półpłaszczyzna sprężysta obciążona siłą / 237
3.1. Stan naprężenia / 237
3.2. Trajektorie naprężeń głównych i ekstremalnych naprężeń stycznych / 239
3.3. Wyznaczenie odkształceń i przemieszczeń / 241

4. Półpłaszczyzna obciążona siłą styczną do brzegu / 245

5. Płaszczyzna sprężysta obciążona siłą / 247

6. Zasada superpozycji oraz funkcje Greena / 253
6.1. Funkcje Greena / 253
6.2. Półpłaszczyzna obciążona równomiernie na odcinku / 256

7. Wybrane zadania i ćwiczenia / 265
7.1. Zastosowanie funkcji Greena / 265
7.2. Różne obciążenia półpłaszczyzny i zasada Saint-Venanta / 267

Rozdział VIII. Pręty zakrzywione i koncentracja naprężeń / 274

1. Pręt zakrzywiony obciążony momentem / 274
1.1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania / 275
1.2. Prezentacja uzyskanych wyników / 281
1.3. Naprężenia resztkowe w pierścieniu / 286

2. Pręt zakrzywiony obciążony poprzecznie siłą na brzegu / 288

3. Pręt zakrzywiony obciążony podłużnie siłą na brzegu / 294

4. Rozciągana tarcza z kołowym otworem / 300
4.1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania / 300
4.2. Analiza stanu naprężenia / 304

5. Zginana tarcza z kołowym otworem / 309

Rozdział IX. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych / 314

1. Rozwinięcie obciążenia w szereg trygonometryczny / 314

2. Funkcje naprężeń / 318

3. Zagadnienie brzegowe belki-ściany / 320
3.1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania / 320
3.2. Analiza stanu naprężenia / 328
3.3. Trajektorie naprężeń głównych / 334

Rozdział X. Tarcze obciążone temperaturą i skurczem / 338

1. Uzupełnienie związku Hooke’a o odkształcenia termiczne i skurczowe / 338

2. Zagadnienie brzegowe tarcz we współrzędnych kartezjańskich / 341
2.1. Nieograniczona tarcza obciążona temperaturą / 342
2.2. Nieograniczone pasmo tarczowe obciążone temperaturą / 342

3. Tarcze obciążone temperaturą we współrzędnych biegunowych / 344
3.1. Zagadnienia brzegowe obrotowo symetrycznych tarcz PSN i PSO / 345
3.2. Tarcza z otworem kołowym utwierdzona na obwodzie / 347
3.3. Pierścień i rura obciążone liniowym rozkładem temperatury / 349
3.4. Pierścień o symetrii kołowej w warunkach ustalonego przepływu ciepła / 353

4. Wybrane zadania / 358
4.1. Układ złożony z krążka i nieograniczonej tarczy / 358
4.2. Tarcza testu podatności na pękanie materiału kruchego poddanego skurczowi / 361

Rozdział XI. Wybrane przykłady złożonych zadań / 367

1. Walec ściskany wzdłuż średnicy / 367
1.1. Sformułowanie zadania / 367
1.2. Rozwiązanie zadania półpłaszczyzny obciążonej siłą / 368
1.3. Zastosowanie zasady superpozycji do rozwiązania zadania / 370
1.4. Rozwiązanie we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych / 372
1.5. Analiza wyników / 375
1.5.1. Stan naprężenia / 376
1.5.2. Stan odkształcenia / 379
1.6. Trajektorie naprężeń głównych / 379
1.7. Zastosowania rozwiązania zadania w badaniach doświadczalnych / 380

2. Rura połączona z przestrzenią w stanie dwuosiowego obciążenia / 382
2.1. Połączenie bez poślizgu / 382
2.2. Połączenie z możliwością poślizgu / 385

3. Dyslokacja krawędziowa / 394

4. Zagadnienie nieograniczonej tarczy z karbem / 399

Rozdział XII. Tarcze anizotropowe / 408

1. Podstawowe równania anizotropowych tarcz PSN i PSO / 408

2. Reprezentacje płaskich tensorów Hooke’a / 412
2.1. Związki Hooke’a materiałów anizotropowych w PSN i PSO / 412
2.2. Cztery typy anizotropii / 415
2.3. Kompozyty włókniste i laminaty / 417
2.4. Model kompozytu włóknistego w przypadku PSN / 420