Algebra i jej zastosowania

Algebra i jej zastosowania

rok wydania: 2020
ISBN: 978-83-8156-032-0
ilość stron: 230
oprawa: miękka

Opis

Podręcznik do wykładów z algebry na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej powstał na podstawie wykładów „Algebra i jej zastosowania 1, 2” oraz „Wybrane zagadnienia algebry” prowadzonych przez autorkę na tym wydziale przez wiele lat. Zrozumienie książki wymaga od Czytelnika znajomości algebry liniowej oraz elementów logiki i teorii mnogości w zakresie wykładanym na pierwszym roku studiów matematycznych. Podręcznik zawiera podstawowe informacje należące do kanonu jednosemestralnego kursu algebry tradycyjnie wykładanego na większości wydziałów matematycznych, ale materiał jest znacznie obszerniejszy. Poza działami „klasycznymi” dotyczącymi grup, pierścieni przemiennych i ciał omówione są również struktury mniej klasyczne, ale mające coraz większe znaczenie zarówno w algebrze, jak i jej zastosowaniach. Tematy są dobrane w sposób pozwalający na wskazanie pewnych kierunków zastosowań w innych dziedzinach matematyki. Książka zawiera sporo przykładów, brakuje w niej jednak zadań do samodzielnego rozwiązania, których dołączenie planowane jest w przyszłości.

Spis treści

Przedmowa / 7

Rozdział 1. Wprowadzenie / 9
1.1. Zbiory, funkcje, relacje / 11
1.2. Struktury algebraiczne / 14

Rozdział 2. Półgrupy i monoidy / 19
2.1. Własności podstawowe / 19
2.2. Wolne półgrupy i monoidy / 26
2.3. Półgrupy i kody / 28
2.4. Monoidy cykliczne i układy dynamiczne / 30
2.5. Działanie monoidu na zbiorze / 31
2.6. Półgrupy i automaty / 32

Rozdział 3. Algebry abstrakcyjne / 37
3.1. Pojęcie algebry abstrakcyjnej / 37
3.2. Algebry trywialne, unarne i binarne / 37
3.3. Grupy / 38
3.4. Quasigrupy / 44
3.5. Pierścienie / 45
3.6. Moduły i algebry / 53
3.7. Półkraty, kraty i algebry Boole’a / 54

Rozdział 4. Podstawowe własności algebr abstrakcyjnych / 59
4.1. Podalgebry / 59
4.2. Homomorfizmy / 62
4.3. Kongruencje / 65
4.4. Homomorfizmy i kongruencje grup / 69
4.5. Działania grup na zbiorach / 70
4.6. Homomorfizmy i kongruencje pierścieni / 79
4.7. Iloczyny algebr / 82

Rozdział 5. Kraty i algebry Boole’a / 87
5.1. Kraty rozdzielne i modularne / 87
5.2. Reprezentacje krat rozdzielnych i algebr Boole’a / 92
5.3. Wolne algebry Boole’a / 100

Rozdział 6. Pierścienie przemienne i ciała / 107
6.1. Ideały i pierścienie ilorazowe / 107
6.2. Pierścienie Euklidesa / 112
6.3. Kongruencje liniowe / 116
6.4. Pierścienie z jednoznacznym rozkładem / 119
6.5. Rozszerzenia ciał / 122
6.6. Ciała skończone / 126
6.7. Kody wykrywające i korygujące błędy / 130

Rozdział 7. Grupy / 139
7.1. Półgrupy, monoidy i grupy wolne / 139
7.2. Rozkłady grup na iloczyny i sumy / 143
7.3. Działania monoidów i grup na zbiorach / 148
7.4.p-grupy i twierdzenia Sylova / 162

Rozdział 8. Reprezentacje liniowe grup skończonych / 171
8.1. Pojęcia wstępne / 172
8.2. Podreprezentacje i sumy proste / 179
8.3. Reprezentacje rozkładalne i nierozkładalne / 183
8.4. Charakter reprezentacji / 186
8.5. Relacja ortogonalności dla charakterów / 189
8.6. Rozkład reprezentacji regularnej / 192
8.7. Liczba reprezentacji nierozkładalnych / 194
8.8. Reprezentacje grup przemiennych / 196

Rozdział 9. Quasigrupy / 199
9.1. Quasigrupy i lupy / 199
9.2. Homotopie i izotopie quasigrup / 204
9.3. Quasigrupy a konfiguracje kombinatoryczne / 209

Bibliografia / 219
Indeks / 221
Indeks symboli / 229